Nació en una colonia agrícola judía, de las que caracterizaron a los famosos gauchos judíos de Entre Ríos.
Osvaldo Dragún desarrolló un teatro socialmente comprometido, organizando el Teatro Independiente, desde el Fray Mocho. En 1956 estrenó su primera obra, La peste viene de Melos, sobre la invasión a Guatemala.
En 1961 salió de la Argentina para trabajar en Cuba México, Venezuela, Perú, Colombia, Estados Unidos, entre otros países.
En 1962 obtuvo el Premio Casa de las Américas por su obra Milagro en el mercado viejo. En 1966 volvió a obtener el mismo premio por Heroica de Buenos Aires.
Rescató el antiguo Teatro del Pueblo y levantó el actual Teatro de la Campana.
A partir de 1981 fue uno protagonistas del Movimiento del Teatro Abierto, una reacción cultural contra la dictadura militar que tuvo una amplia influencia en la población. Osvaldo Dragún organizó el movimiento junto a otros hombres y mujeres de teatro como Roberto Cossa, Jorge Rivera López, Luis Brandoni y Pepe Soriano, apoyados por Adolfo Pérez Esquivel, recién elegido Premio Nobel de la Paz y Ernesto Sábato. El ciclo se repitió en 1982, en 1983 (con el lema de "ganar la calle"), y en 1984 (el "teatrazo").
En Teatro Abierto Dragún estrenó Mi obelisco y yo, en 1981, Al vencedor en el 1982 y Hoy se comen al flaco en el 1983.
En 1988 creó y dirigió la Escuela de Teatro de Latinoamérica y el Caribe, con sede en La Habana (Cuba)
El 1 de setiembre de 1996 se trasladó de México a Buenos Aires para aceptar la dirección del Teatro Nacional Cervantes. Desde esa función organizó el Maratón del Teatro Nacional Cervantes del cual participaron catorce grupos de Buenos Aires y del interior del país, el Encuentro Iberoamericano de Teatro, y giras de los elencos por todo el país.
Murió en 1999 ejerciendo dicho cargo y allí fue velado.