Hijo de Gaspar Martínez Fontes Bustamente y María de los Ángeles Dizido y Zamudio Velis. Casados en 1773, Enrique fue el tercero de cinco hermanos. Casado primero con Francisca Antonia de los Ríos y Torres y después, en segundas nupcias, con Mercedes Ugarte. Ingresó en el Regimiento de Dragones en 1801, durante la guerra contra Portugal y participó en la lucha contra las Invasiones Inglesas.
En 1810 era capitán del regimiento de Patricios de Buenos Aires y participó en la gestación de la Revolución de Mayo. Prestó servicios en el sitio de la ciudad de Montevideo, que estaba en manos de los realistas. Combatió en la batalla de Cerrito.
Se unió al Ejército de los Andes en el regimiento dirigido por Miguel Estanislao Soler, para después asumir el mando de un regimiento y ser ascendido al grado de coronel. Hizo la campaña de José de San Martín a Chile y obtuvo la victoria en el Combate de Guardia Vieja. A órdenes de Juan Gregorio de Las Heras luchó en las batallas de Chacabuco, Curapaligüe, Gavilán, Talcahuano, Cancha Rayada y Maipú.
Al comenzar el año 1820, con el ejército listo para comenzar la campaña de liberación de Perú, San Martín recibió la noticia de la caída del Directorio de las Provincias Unidas del Río de la Plata. Por ello reunió a sus oficiales en Rancagua, donde les presentó su renuncia como comandante y les pidió que le nombraran un reemplazante. Martínez encabezó la negativa, argumentando que el mando de San Martín le había sido otorgado por el pueblo, lo que fue confirmado por todos los oficiales en el acta de Rancagua. Legitimado de ese modo tan extraño, San Martín comenzó casi inmediatamente la campaña del Perú.
Luchó en el asalto al Callao y en la defensa de Lima. En 1822 fue gobernador de la provincia de Trujillo, y poco después ascendió al grado de general.
Quedó al mando del ejército de Lima cuando el general Rudecindo Alvarado dirigió la campaña "de Puertos intermedios". Debido a que privilegió a los oficiales en el pago de sueldos cuando los soldados llevaban meses sin cobrar, se produjo la sublevación de la guarnición del Callao, que entregó esa plaza a los realistas y obligó a evacuar Lima. Estuvo a punto de ser asesinado por los rebeldes. Por esa rebelión se perdió Lima y el Callao fue la última plaza leal a España en caer en América continental.
Renunció al ejército y llevó a Buenos Aires los restos del Ejército de los Andes. En su camino, publicó en Santiago de Chile una justificación de su actuación frente a la sublevación del Callao.
En julio de 1827, el gobernador Manuel Dorrego lo nombró su ministro de guerra. Poco después, durante la Guerra del Brasil, pasó al ejército de la Banda Oriental, después de la campaña de Ituzaingó, y realizó una campaña en el norte de ese territorio. Sitió posteriormente Montevideo, pero no consiguió tomar la ciudad.
El 1 de diciembre de 1828 fue el segundo jefe del general Juan Lavalle, durante la revolución que derrocó a Dorrego, y logró la rendición de los ministros Tomás Guido y Juan Ramón Balcarce. El gobernador Lavalle, lo nombró inspector de armas de la provincia. Al poco tiempo se pasó a la oposición y Lavalle lo desterró a Montevideo en febrero, aunque le permitió regresar en julio. Estuvo a punto de perecer en el naufragio de la goleta que lo llevaba de vuelta a Buenos Aires.
A la caída del jefe unitario, apoyó al nuevo gobernador Juan José Viamonte. Acompañó a Juan Ramón Balcarce como jefe de estado mayor en la campaña de Córdoba, contra el general José María Paz y su Liga Unitaria del Interior.
Cuando Balcarce fue nombrado gobernador, en 1832, lo nombró su ministro de guerra y marina. Se enfrentó al sector dirigido por Juan Manuel de Rosas y, con la alianza de algunos unitarios, intentó formar un partido federal independiente. Sus principales aliados eran los generales Tomás de Iriarte y Manuel Olazábal.
Negó toda ayuda a la campaña de Rosas al Desierto y convenció a Balcarce de unirse a su proyecto. Participaron en las elecciones legislativas con una lista federal sin los amigos de Rosas, y vencieron a la lista de éstos con la ayuda de la presión de los regimientos leales. Curiosamente, el primer candidato en ambas listas era el mismo Rosas.
Pero Rosas no abandonó su proyecto y logró hacer toda la campaña que había planeado. Eso les dio fuerza a sus partidarios, que se enzarzaron en una lucha periodística contra el gobierno. La justicia enjuició a varios diarios opositores, entre ellos uno llamado "El Restaurador de las Leyes", título honorífico que usaba Rosas. Las protestas por los nombres confundidos precipitó el inicio de la Revolución de los Restauradores. El gobierno decidió resistir, pero los jefes militares se pasaron al bando contrario y sitiaron la ciudad.
Finalmente, Balcarce renunció el 3 de noviembre de 1833. Martínez se exilió en Entre Ríos y poco después en Uruguay.
Vivió alejado de la política por un tiempo y apoyó al gobierno legal de Manuel Oribe, pero después entró en los planes de los emigrados unitarios y se unió a las fuerzas rebeldes de Fructuoso Rivera. Participó a su lado en las batallas de Carpintería y Palmar y, tras la renuncia de Oribe, fue ministro de guerra de Rivera.
Luchó como jefe de la reserva de Rivera en la victoria de Cagancha sobre Pascual Echagüe, y más tarde participó de la defensa de la ciudad de Montevideo durante la Guerra Grande. En 1847 fue nombrado ministro de guerra del último gobierno de Rivera, y fue arrestado cuando el jefe "colorado" fue expulsado.
Apoyó la elección de Venancio Flores en 1852 como presidente del Uruguay, y éste lo volvió a nombrar ministro de guerra. Regresó a Buenos Aires, y en 1857 el gobernador Valentín Alsina lo nombró inspector general del ejército. Pasó a retiro poco antes de la batalla de Pavón.
En su vejez escribió sus Memorias, y colaboró con Bartolomé Mitre en su Historia de San Martín. Su hijo, el general Julián Martínez, fue ministro de guerra en 1866, pero murió antes que su padre. Murió en noviembre de 1870 en una estancia de la provincia de Córdoba.
Una calle y una plazoleta en Buenos Aires recuerdan a este guerrero de la independencia. Curiosamente, la placa en esa plazoleta contiene el grave error histórico de situarlo como comandante e inspector del Ejército Argentino entre 1859 y 1861, época en que era solamente inspector de armas del Estado de Buenos Aires.