Enrique Beveraggi nació en Bariloche, en la provincia de Río Negro, pasó gran parte de su vida en Resistencia, Chaco. Su abuelo paterno vivió en Barranqueras, en aquella provincia cuando aún era territorio nacional, donde trabajó en el ferrocarril francés de la ciudad. Realizó sus estudios primarios en la escuela Benjamín Zorrila de Paraná, provincia de Entre Ríos y la Secundaria en el Colegio Nacional José María Paz de Resistencia. Se recibió de médico cirujano en la Universidad de Buenos Aires (UBA).4 Llegó a afirmar, que durante sus estudios "la obligación de aprobar todas las materias en diciembre para poder pasar en familia la mayor parte del tiempo de las vacaciones de verano [en Resistencia]". Ejerció la profesión en el Hospital Italiano de Buenos Aires, a donde ingresó en 1955, llegando a ser decano de la Facultad de Medicina del Hospital Italiano.
Militante de la Unión Cívica Radical (UCR), el presidente Raúl Alfonsín, de quien era médico personal, lo nombró ministro de Salud de la Nación, en reemplazo de Ricardo Barrios Arrechea, cargo en el que permaneció hasta el fin de la presidencia de Alfonsín en 1989.
Falleció el 15 de junio de 2015 en la Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.