Hijo de un inmigrante judío ruso, aprendió en su provincia natal las difíciles condiciones del campesinado a principios del s. XX, que supo reflejar posteriormente en sus dramas junto a la turbulenta política caudillista de la época, rompiendo con la superficialidad del criollismo de entonces. Siendo aún un adolescente emigró a Buenos Aires y allí cultivó el periodismo (escribió para La Vanguardia, Caras y Caretas, La Nota, crítica literaria para Noticias Gráficas y Argentina Libre) y estrenó sus primeras obras dramáticas, que se inscriben dentro del Naturalismo, con apuntes costumbristas y una gran sensibilidad al habla vulgar: El lobo manso (1917), En la quietud del pueblo (1919), La mala sed (1920), El ruedo de almas (1923) y La hermana terca (1924), entre otras. De ideología socialista, muchas de ellas fueron representadas por la Agrupación Artística Juan B. Justo.
A partir de 1940 empieza su segunda época dramática, siempre centrándose en un análisis ibseniano de la inmigración europea a la Argentina, con influjos de Strindberg y Chejov, evolucionando hacia un teatro en que dominan más los aspectos introspectivos que los sociales, a causa del interés que empieza a ofrecerle el psicoanálisis y la obra de autores como Henri Lenormand y Eugene O'Neill: Cuando tengas un hijo (1929), Señorita (1930), Soledad es tu nombre (1932), En tu vida estoy yo (1934), El gato y su selva (1936) y Pájaro de barro (1940). Pero sus piezas más famosas y que fueron varias veces adaptadas al medio cinematográfico fueron las ambientadas en escenarios suburbanos: Un guapo del 900 (1940), que trata sobre la corrupción política y el abuso de poder, y Un tal Servando Gómez (1942).
En 1943 fue como delegado al Congreso de Sociedades de Autores en Washington; ocupó la presidencia de la SADE, fue miembro de Argentores y en sus últimos años estuvo ligado a la carrera diplomática como agregado cultural de la Embajada Argentina en Uruguay. Ejerció también el trabajo de guionista cinematográfico con obras como El pendiente o Arrabalera. Su labor narrativa se compone de las novelas Tormento de Dios (1929) y El viajero inmóvil (1933) y del libro de relatos Un monstruo en libertad (1925).
En 1930 recibió el premio Mun.; en 1933 el del Jockey Club; el Gerchunoff 1952-1953; el del Instituto Judío Argentino de Cultura e Información por Dos brasas, que también el premio de los Críticos de Buenos Aires y el Premio Nacional de Drama en 1957.
Eichelbaum, que se definía como “un maniático de la introspección”, creó a lo largo de medio siglo de carrera dramática una obra donde los personajes solitarios y atormentados eran la regla general, siempre fiel a su afán experimentador y a su creencia de que el teatro es ante todo un “drama interior” producido por crisis morales conscientes o inconscientes y que la poesía dramática se nutre esencialmente de la psicología. Se le considera habitualmente uno de los cuatro mejores autores dramáticos argentinos de su época, junto a Roberto Arlt, Conrado Nalé Roxlo y Armando Discépolo.
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